suite rapport

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@@ -62,7 +62,11 @@ Or dans \cite{Tuffin:1997:VRA:268403.268419} il est montré que pour $f$ une fon
 Pour cette classe de fonctions on a une réduction de variance par un facteur de $N / (\log N)^{2s}$.
 
 \subsection{Calcul de vitesse et d'intervalle de confiance}
-On s'interesse maintenant 
+On s'interesse maintenant à la convergence vers la loi normale de notre estimateur. On rappelle que dans le cas d'une méthode de Monte-Carlo classique, 
+si $X$ est une variable aléatoire et si on note $\mu = \E[f(X)]$ l'espérance qu'on cherche à calculer. Alors si les $(X_i)_{1\leq i\leq N}$ sont 
+$N$ tirages de la variable $X$, $\bar{X}_N=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nf(X_i)$ sera notre estimateur de $\mu$ et on aura l'intervalle de confiance assymptotique 
+usuel pour $\mu$ de la forme : $\mathopen{]}\bar{X}_N-c_{\alpha}\frac{\alpha}{\sqrt{N}};\bar{X}_N+c_{\alpha}\frac{\alpha}{\sqrt{N}}\mathclose{]}$ avec
+$\alpha$ le niveau désiré pour l'intervalle et $c_{\alpha}$ le quantile de $1-\frac{\alpha}{2}$ d'une loi gaussienne centrée réduite.
 
 \section{Échantillonnage stratifié}
 \subsection{Présentation mathématique}
@@ -93,28 +97,37 @@ Tandis qu'avec un estimateur usuel de Monte-Carlo $\frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N}f(X^
 \frac{1}{N}\left(\sum_{i=1}^{I}p_{i}(\sigma_{i}^2 + \E^{2}[f(X_{i})])-(\sum_{i=1}^{I}p_{i}\E[f(X_{i})])^{2}\right)
  \geq \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{I}p_i\sigma_i^2
 \end{equation*}
-On peut donc constater que si on décide de poser $q_i = p_i$, $\mathrm{Var}(\mu_{strat})$ atteindra la borne inférieure trouvée pour $\mathrm{Var}(\mu_{mc})$.
+où la dernière inégalité est due au fait que par l'inégalité de Jensen appliquée à $\E[f(X_{i})]$ avec la suite des $p_i$ comme probabilité discrète(
+$\sum_{i=1}^{I}p_i = 1$) on a :
+\begin{equation*}
+\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{I}p_i\E^{2}[f(X_{i})] \geq (\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{I}p_i\E[f(X_{i})])^2
+\end{equation*}
+Si on pose $q_i = p_i$, $\mathrm{Var}(\mu_{strat})$ atteindra la borne inférieure trouvée pour $\mathrm{Var}(\mu_{mc})$.
 Mais on peut trouver un choix de $q_i$ plus optimal en terme de réduction de variance.
-En effet :
+En effet, toujours par l'inégalité de Jensen avec cette fois la suite des $q_i$ vue comme une probabilité discrète, on a :
 \begin{equation*}
 \mathrm{Var}(\mu_{strat})=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{I}\frac{p_i^2\sigma_i^2}{q_i}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^I(\frac{p_i\sigma_i}{q_i})^2q_i
 \geq\frac{1}{N}(\sum_{i=1}^I\frac{p_i\sigma_i}{q_i}q_i)^2
 \end{equation*}
-Si
+Et si
 \begin{equation}
 \label{eqqi}
-\forall 1\geq i \geq  I,  q_i=\frac{p_i\sigma_i}{\sum_{j=1}^Ip_j\sigma_j}
+\forall i \in \{1,...,I\} \quad q_i=\frac{p_i\sigma_i}{\sum_{j=1}^Ip_j\sigma_j}
 \end{equation}
 ${Var}(\mu_{strat})$ atteindra la borne inférieure trouvée précédemment. Maintenant qu'on a décrit le principe de la méthode de l'échantillonnage stratifié,
 et qu'on a trouvé quelle est la proportion optimale de tirages à faire par strates, intéressons nous à l'algorithme pour implémenter ce modèle.
 
 \subsection{Description de l'algorithme}
-On a vu dans la section précédente que les $q_i$ optimaux dépendent de la suite $(\sigma_i)_{1\geq i\geq I}$ qui sont les variances conditionnelles de $X$
+On a vu dans la section précédente que les $q_i$ optimaux dépendent de la suite $(\sigma_i)_{1\leq i\leq I}$ qui sont les variances conditionnelles de $X$
 sachant $X\in A_{i}$. Mais si ces variances sont inconnues il nous faut les estimer. On ne peut trouver la répartition optimale de tirages à faire par strates 
-du premier coup. L'idée de l'algorithme consiste donc à faire plusieurs étapes. On commence par tirer un nombre $N_1$ assez restreint de variables $(X_{i})_{1\le i \le I}$
+du premier coup. On utilisera donc un algorithme adaptatif. On commence par tirer un nombre $N_1$ assez restreint de variables $(X_{i})_{1\leq i \leq I}$
 en choisissant une répartition déterministe, par exemple la répartition uniforme $q_i=\frac{N_1}{I}$ ce qui nous donnera un premier estimateur de  $\mu=\E(f(X))$ mais
-surtout les premiers estimateurs de $\sigma_{i}$. Ensuite on pourra tirer un nombre $N_2 > N_1$ de $(X_{i})$ avec une de nouveaux $q_i$ donnés par \eqref{eqqi}
+surtout les premiers estimateurs de $\sigma_{i}$. Ensuite on pourra tirer un nombre $N_2 > N_1$ de $(X_{i})$ avec de nouveaux $q_i$ donnés par \eqref{eqqi}
 ce qui nous donnera un nouvel estimateur de $\mu$ (en utilisant les $N_1 + N_2$ premières valeurs) puis de nouveaux $q_i$ plus précis, et ainsi de suite.
 
+
+\input{table.tex}
+
 \printbibliography
+
 \end{document}