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diff --git a/doc/rapport.tex b/doc/rapport.tex index 1514d06..5620c07 100644 --- a/doc/rapport.tex +++ b/doc/rapport.tex @@ -36,7 +36,7 @@ uniformément distribuée sur ${[0,1]^s}$. On s'intéresse dorénavant à la som Z=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nf(\{\xi^{(n)}+X\}) \end{equation*} où \{$X$\} désigne la partie fractionnaire de $X$. -L'idée consiste à faire $K$ tirages de $Z$, ce qui revient à faire K tirages de $X$ vu que la suite $(\xi^{(n)})$ est déterministe, puis de faire +L'idée consiste à faire $K$ tirages de $Z$, ce qui revient à faire $K$ tirages de $X$ vu que la suite $(\xi^{(n)})$ est déterministe, puis de faire une méthode de Monte Carlo classique sur ces $K$ tirages. On a donc : \begin{equation} \label{eqrqmc}\frac{1}{K}\sum_{k=1}^KZ_{k}=\frac{1}{K}\sum_{k=1}^K\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nf(\{\xi^{(n)}+X_{k}\})\overset{p.s}{\to} I @@ -62,11 +62,27 @@ Or dans \cite{Tuffin:1997:VRA:268403.268419} il est montré que pour $f$ une fon Pour cette classe de fonctions on a une réduction de variance par un facteur de $N / (\log N)^{2s}$. \subsection{Calcul de vitesse et d'intervalle de confiance} -On s'interesse maintenant à la convergence vers la loi normale de notre estimateur. On rappelle que dans le cas d'une méthode de Monte-Carlo classique, -si $X$ est une variable aléatoire et si on note $\mu = \E[f(X)]$ l'espérance qu'on cherche à calculer. Alors si les $(X_i)_{1\leq i\leq N}$ sont -$N$ tirages de la variable $X$, $\bar{X}_N=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nf(X_i)$ sera notre estimateur de $\mu$ et on aura l'intervalle de confiance assymptotique -usuel pour $\mu$ de la forme : $\mathopen{]}\bar{X}_N-c_{\alpha}\frac{\alpha}{\sqrt{N}};\bar{X}_N+c_{\alpha}\frac{\alpha}{\sqrt{N}}\mathclose{]}$ avec -$\alpha$ le niveau désiré pour l'intervalle et $c_{\alpha}$ le quantile de $1-\frac{\alpha}{2}$ d'une loi gaussienne centrée réduite. +On s'interesse maintenant à la convergence vers la loi normale de notre estimateur. On rappelle d'abord le cas d'une méthode de Monte-Carlo classique. +Soit $X$ une variable aléatoire, on note $\mu = \E[f(X)]$ son espérance qu'on cherche à calculer et $\sigma$ son écart type. Alors si les $(X_n)_{1\leq n\leq N}$ +sont $N$ tirages de la variable $X$, $\bar{X}_N=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nf(X_n)$ sera notre estimateur de $\mu$ et on aura l'intervalle de confiance +assymptotique usuel pour $\mu$ de la forme : $\mathopen{[}\bar{X}_N-c_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{N}};\bar{X}_N+c_{\sigma}\frac{\alpha}{\sqrt{N}}\mathclose{]}$ +avec $\alpha$ le niveau désiré pour l'intervalle et $c_{\alpha}$ le quantile de $1-\frac{\alpha}{2}$ d'une loi gaussienne centrée réduite. + +Dans son article \cite{tuffin2004randomization} M.Tuffin suggère d'utiliser la borne de Berry-Esseen pour le cas non assymptotique. Si on introduit la variable +$\beta = \E[|f(X)-\E[f(X)]|^3]$, $F_n$ la fonction de répartition de $\sqrt{N}\frac{\bar{X}_N-\mu}{\sigma}$et $\mathcal{N}$ la fonction de répartition d'une +loi normale centrée réduite, alors l'inégalité de Berry-Esseen affirme que : +\begin{equation*} +\forall x \quad |F_n(x) - \mathcal{N}(x)| \leq C\frac{\beta}{\sigma ^3 \sqrt{N}} +\end{equation*} +Ce qui nous donne $\mathcal{N}(x) - C\frac{\beta}{\sigma ^3 \sqrt{N}} \leq F_n(x) \leq \mathcal{N}(x) + C\frac{\beta}{\sigma ^3 \sqrt{N}} $ et en +soustrayant l'encadrement équivalent de $F_n(-x)$ il vient : +\begin{equation*} +F_n(x)-F_n(-x) \geq \mathcal{N}(x) - \mathcal{N}(-x) -2C\frac{\beta}{\sigma ^3 \sqrt{N}} +\end{equation*} +On veut maintenant égaliser cette borne inférieure avec $1- \alpha$ pour trouver les bornes de l'intervalle de confiance. +Sachant que $\mathcal{N}(x) = 1 - \mathcal{N}(-x)$ on a $1 - \alpha = 1 - 2\mathcal{N}(-x) - 2C\frac{\beta}{\sigma ^3 \sqrt{N}}$ et on trouve en fin de +compte : + $x = -\mathcal{N}^{-1}(\frac{\alpha}{2} - C\frac{\beta}{\sigma ^3 \sqrt{N}})$. \section{Échantillonnage stratifié} \subsection{Présentation mathématique} |