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@@ -36,7 +36,7 @@ uniformément distribuée sur ${[0,1]^s}$. On s'intéresse dorénavant à la som
 Z=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nf(\{\xi^{(n)}+X\})
 \end{equation*} 
 où \{$X$\} désigne la partie fractionnaire de $X$.
-L'idée consiste à faire $K$ tirages de $Z$, ce qui revient à faire K tirages de $X$ vu que la suite $(\xi^{(n)})$ est déterministe, puis de faire
+L'idée consiste à faire $K$ tirages de $Z$, ce qui revient à faire $K$ tirages de $X$ vu que la suite $(\xi^{(n)})$ est déterministe, puis de faire
 une méthode de Monte Carlo classique sur ces $K$ tirages. On a donc :
 \begin{equation}
 \label{eqrqmc}\frac{1}{K}\sum_{k=1}^KZ_{k}=\frac{1}{K}\sum_{k=1}^K\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nf(\{\xi^{(n)}+X_{k}\})\overset{p.s}{\to} I
@@ -62,11 +62,27 @@ Or dans \cite{Tuffin:1997:VRA:268403.268419} il est montré que pour $f$ une fon
 Pour cette classe de fonctions on a une réduction de variance par un facteur de $N / (\log N)^{2s}$.
 
 \subsection{Calcul de vitesse et d'intervalle de confiance}
-On s'interesse maintenant à la convergence vers la loi normale de notre estimateur. On rappelle que dans le cas d'une méthode de Monte-Carlo classique, 
-si $X$ est une variable aléatoire et si on note $\mu = \E[f(X)]$ l'espérance qu'on cherche à calculer. Alors si les $(X_i)_{1\leq i\leq N}$ sont 
-$N$ tirages de la variable $X$, $\bar{X}_N=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nf(X_i)$ sera notre estimateur de $\mu$ et on aura l'intervalle de confiance assymptotique 
-usuel pour $\mu$ de la forme : $\mathopen{]}\bar{X}_N-c_{\alpha}\frac{\alpha}{\sqrt{N}};\bar{X}_N+c_{\alpha}\frac{\alpha}{\sqrt{N}}\mathclose{]}$ avec
-$\alpha$ le niveau désiré pour l'intervalle et $c_{\alpha}$ le quantile de $1-\frac{\alpha}{2}$ d'une loi gaussienne centrée réduite.
+On s'interesse maintenant à la convergence vers la loi normale de notre estimateur. On rappelle d'abord le cas d'une méthode de Monte-Carlo classique. 
+Soit $X$ une variable aléatoire, on note $\mu = \E[f(X)]$ son espérance qu'on cherche à calculer et $\sigma$ son écart type. Alors si les $(X_n)_{1\leq n\leq N}$ 
+sont $N$ tirages de la variable $X$, $\bar{X}_N=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nf(X_n)$ sera notre estimateur de $\mu$ et on aura l'intervalle de confiance 
+assymptotique usuel pour $\mu$ de la forme : $\mathopen{[}\bar{X}_N-c_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{N}};\bar{X}_N+c_{\sigma}\frac{\alpha}{\sqrt{N}}\mathclose{]}$ 
+avec $\alpha$ le niveau désiré pour l'intervalle et $c_{\alpha}$ le quantile de $1-\frac{\alpha}{2}$ d'une loi gaussienne centrée réduite.
+
+Dans son article \cite{tuffin2004randomization} M.Tuffin suggère d'utiliser la borne de Berry-Esseen pour le cas non assymptotique. Si on introduit la variable 
+$\beta = \E[|f(X)-\E[f(X)]|^3]$, $F_n$ la fonction de répartition de $\sqrt{N}\frac{\bar{X}_N-\mu}{\sigma}$et $\mathcal{N}$ la fonction de répartition d'une
+loi normale centrée réduite, alors l'inégalité de Berry-Esseen affirme que :
+\begin{equation*}
+\forall x \quad |F_n(x) - \mathcal{N}(x)| \leq C\frac{\beta}{\sigma ^3 \sqrt{N}}
+\end{equation*}
+Ce qui nous donne $\mathcal{N}(x) - C\frac{\beta}{\sigma ^3 \sqrt{N}} \leq F_n(x) \leq \mathcal{N}(x) + C\frac{\beta}{\sigma ^3 \sqrt{N}} $ et en 
+soustrayant l'encadrement équivalent de $F_n(-x)$ il vient :
+\begin{equation*}
+F_n(x)-F_n(-x) \geq \mathcal{N}(x) - \mathcal{N}(-x) -2C\frac{\beta}{\sigma ^3 \sqrt{N}}
+\end{equation*}
+On veut maintenant égaliser cette borne inférieure avec $1- \alpha$ pour trouver les bornes de l'intervalle de confiance.
+Sachant que $\mathcal{N}(x) = 1 - \mathcal{N}(-x)$ on a $1 - \alpha =  1 - 2\mathcal{N}(-x) - 2C\frac{\beta}{\sigma ^3 \sqrt{N}}$ et on trouve en fin de 
+compte :
+ $x = -\mathcal{N}^{-1}(\frac{\alpha}{2} - C\frac{\beta}{\sigma ^3 \sqrt{N}})$.
 
 \section{Échantillonnage stratifié}
 \subsection{Présentation mathématique}