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diff --git a/doc/rapport.tex b/doc/rapport.tex index a8528ec..35cd92b 100644 --- a/doc/rapport.tex +++ b/doc/rapport.tex @@ -12,20 +12,36 @@ Sujet : Comparer les performances des méthodes de stratification exposées dans \cite{etore:hal-00192540} et de QMC randomisées exposées dans \cite{tuffin2004randomization} sur les exemples présentés dans \cite{etore:hal-00192540} - Références : \cite{etore:hal-00192540} \cite{tuffin2004randomization} -\section{Mes supers résultats} + +\section{Quasi Monte Carlo randomisé} +\subsection{Présentation mathématique} +On suppose qu'on cherche à calculer +\begin{equation} +I=\int_{[0,1]^s}f(x)dx +\end{equation} +Soit $(\xi^{(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ une suite à discrépance faible à valeurs dans $[0,1]^s$. +Au bout de N tirages de cette suite, la méthode de quasi Monte Carlo usuelle nous donnerait une approximation de la valeur de I +par la formule : +\begin{equation} +I\approx\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nf(\xi^{(n)}) +\end{equation} +La méthode de quasi Monte Carlo randomisé consite à rajouter un décalage aléatoire à la suite $(\xi^{(n)})$. Soit X une variable aléatoire +uniformément distribuée sur ${[0,1]^s}$. On s'intéresse dorénavant à la somme aléatoire : +\begin{equation} +Z=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nf(\{\xi^{(n)}+X\}) +\end{equation} +\subsection{Calcul de vitesse de d'intervalle de confiance} On veut calculer l'espérance : $\E(f(X))=\sum_{i=1}^Ip_if(X_i)$ \begin{equation} \label{eqesti}\hat{c}=\sum_{i=1}^I\frac{p_i}{N_i}\sum_{j=1}^{N_i}f(X_i^j)= \frac{1}{N}\sum_{i=1}^I\frac{p_i}{q_i}\sum_{j=1}^{q_iN}f(X_i^j) \end{equation} -Comme on le voit dans \eqref{eqesti} la vie est belle. \[a \leq b \] -\section{Deux algorithmes} + \begin{center} \input{table.tex} |