From 212dde35792685909ddc76bd88f514e8bcf91e25 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Bertrand <bertrand.horel@gmail.com>
Date: Tue, 8 Mar 2016 13:23:20 +0000
Subject: suite rqmc.tex

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@@ -21,16 +21,23 @@ On suppose qu'on cherche à calculer
 I=\int_{[0,1]^s}f(x)dx
 \end{equation}
 Soit $(\xi^{(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ une suite à discrépance faible à valeurs dans $[0,1]^s$.
-Au bout de N tirages de cette suite, la méthode de quasi Monte Carlo usuelle nous donnerait une approximation de la valeur de I
+Au bout de N tirages de cette suite, la méthode de quasi Monte Carlo usuelle nous donnerait une approximation de la valeur de $I$
 par la formule :
 \begin{equation}
 I\approx\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nf(\xi^{(n)})
 \end{equation}
-La méthode de quasi Monte Carlo randomisé consite à rajouter un décalage aléatoire à la suite $(\xi^{(n)})$. Soit X une variable aléatoire
+La méthode de quasi Monte Carlo randomisé consite à rajouter un décalage aléatoire à la suite $(\xi^{(n)})$. Soit $X$ une variable aléatoire
 uniformément distribuée sur ${[0,1]^s}$. On s'intéresse dorénavant à la somme aléatoire :
 \begin{equation}
 Z=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nf(\{\xi^{(n)}+X\})
-\end{equation}
+\end{equation} 
+où \{$X$\} désigne la partie fractionnaire de $X$.
+L'idée consiste à faire K tirages de $Z$, ce qui consiste à faire K tirages de $X$ vu que la suite $(\xi^{(n)})$ est déterministe, puis de faire
+une méthode de Monte Carlo classique sur ces K tirages. On a donc :
+\begin{equation}
+I\approx\frac{1}{I}\sum_{i=1}^IZ_{i}=\frac{1}{I}\sum_{i=1}^I\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nf(\{\xi^{(n)}+X_{i}\})
+\end{equation} 
+
 \subsection{Calcul de vitesse de d'intervalle de confiance}
 On veut calculer l'espérance : $\E(f(X))=\sum_{i=1}^Ip_if(X_i)$
 \begin{equation}
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cgit v1.2.3-70-g09d2

