From 3c3152a92de663ce17131852465fe7cb0f484f77 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Bertrand <bertrand.horel@gmail.com>
Date: Wed, 20 Apr 2016 12:52:35 +0200
Subject: tentative explication importance sampling

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@@ -187,8 +187,24 @@ dS_t=VS_tdW_t+rS_tdt
 \end{equation*}
 où $r$ représente l'actif sans risque, $V$ la volatilité constante de $S_t$ et $W_t$ un processus de Wiener standard. Soit $ T > 0$ le temps de maturité
 de l'option et $(t_m = \frac{mT}{d})_{1\leq m\leq d}$ une suite de $d$ instants entre $0$ et $T$ où le prix de $S_t$ est connu. L'option asiatique A avec un
-prix d'exercice K a pour fonction payoff
+prix d'exercice K a pour fonction payoff :
+\begin{equation*}
+e^{-rT}(\frac{1}{d}\sum_{m=1}^dS_{t_m}-K)^+
+\end{equation*}
+et le prix $p$ de cette option est l'espérance de ce payoff. 
 
+On peut exactement simuler la suite des $(S_{t_m})_{1\leq m\leq d}$ en posant $S_{t_0}=S_0$ et :
+\begin{equation*}
+S_{t_m}=S_{t_{m-1}}exp([r-\frac{1}{2}V^2](t_m-t_{m-1}) + V\sqrt{t_m-t_{m-1}}X^m) \forall m \in {\{1,...,d\}}
+\end{equation*}
+où les $X_m$ sont des normales centrées réduites indépendantes. On cherche donc à calculer une espérance de la forme : $p = \E[g(X) \mathbf{1} _D(X)]$, où $g$
+est une fonction de $\mathbb{R}^d$ dans $\mathbb{R}$ et $D$ le domaine où $g$ est strictement positive. Dans leur article, Glasserman et al. proposent
+de d'abord commencer par une méthode d'échantillonage préférentiel, ou importance sampling. Cette méthode consiste à décaler les variables $X$ pour changer 
+leurs moyennes et diminuer la variance de notre estimateur par rapport à une méthode classique de Monte-Carlo.
+En effet si on constate que $\forall \mu \in{\mathbb{R}^d}$ on a :
+\begin{equation*}
+p = \E[g(X+\mu)]
+\end{equation*}
 
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