From 529dde312e10df99d48b6636a0833c06e862c19f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Bertrand <bertrand.horel@gmail.com>
Date: Mon, 18 Apr 2016 23:14:09 +0200
Subject: qques corrections typographie et orthographe

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@@ -65,7 +65,7 @@ Pour cette classe de fonctions on a une réduction de variance par un facteur de
 On s'interesse maintenant à la convergence vers la loi normale de notre estimateur. On rappelle d'abord le cas d'une méthode de Monte-Carlo classique.
 Soit $X$ une variable aléatoire, on note $\mu = \E[f(X)]$ son espérance qu'on cherche à calculer et $\sigma$ son écart type. Alors si les $(X_n)_{1\leq n\leq N}$
 sont $N$ tirages de la variable $X$, $\bar{X}_N=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nf(X_n)$ sera notre estimateur de $\mu$ et on aura l'intervalle de confiance
-asymptotique usuel pour $\mu$ de la forme : $\mathopen{[}\bar{X}_N-c_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{N}};\bar{X}_N+c_{\alpha}\frac{\alpha}{\sqrt{N}}\mathclose{]}$
+asymptotique usuel pour $\mu$ de la forme : $[\bar{X}_N-c_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{N}},\bar{X}_N+c_{\alpha}\frac{\alpha}{\sqrt{N}}]$
 avec $\alpha$ le niveau désiré pour l'intervalle et $c_{\alpha}$ le quantile en $1-\frac{\alpha}{2}$ d'une loi gaussienne centrée réduite.
 
 Dans l'article \cite{tuffin2004randomization}, Tuffin suggère d'utiliser la borne de Berry-Esseen pour le cas non asymptotique. Si on introduit les quantités
@@ -97,8 +97,8 @@ Alors que Tuffin trouve :
 ce qui me semble être une erreur.
 Si on veut comparer les demi-tailles des intervalles de confiance, on voit que l'intervalle de Tuffin rajoute $\frac{C\beta}{\sigma^2N}$ à
 l'intervalle habituel assymptotique tandis que je trouve un intervalle possiblement égal à $\mathbb{R}$ tout entier pour des petites valeurs de $N$.
-C'est pourquoi dans les applications ultérieures j'utilise l'intervalle classique $\mathopen{[}\bar{X}_N-c_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{N}};
-\bar{X}_N+c_{\alpha}\frac{\alpha}{\sqrt{N}}\mathclose{]}$.
+C'est pourquoi dans les applications ultérieures j'utilise l'intervalle classique $[\bar{X}_N-c_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{N}},
+\bar{X}_N+c_{\alpha}\frac{\alpha}{\sqrt{N}}]$.
 
 \section{Échantillonnage stratifié}
 \subsection{Présentation mathématique}
@@ -159,18 +159,18 @@ ce qui nous donnera un nouvel estimateur de $\mu$ (en utilisant les $N_1 + N_2$
 
 \section{Exemples}
 \subsection{Calcul de l'espérance d'une loi normale}
-Dans ce premier exemple assez simple, on va chercher à calculer $ c = \E[X]$ où $X$ suit une loi normale centrée réduite 
+Dans ce premier exemple assez simple, on va chercher à calculer $ \mu = \E[X]$ où $X$ suit une loi normale centrée réduite 
 \subsubsection{Échantillonnage stratifié}
-Pour cet exemple, les strates $A_i$ seront au nombre de $10$ et $\forall i \in{\{1,...,10\}}$ $A_i =\mathopen{]}y_{i-1}; y_i \mathclose{[}$ où $y_i$ désigne
-le quantile $i/10$ d'une loi normale, en prenant pour convention $y_0 = - \infty $ et $y_1 = + \infty $. Ainsi la suite des probabilités $(p_i)_{1\leq i\leq 10}$
-est constante à $1/10$. Pour cet exemple Étoré et Jourdain ont effectuer quatre étapes de leur algorithme avec $N 1 = 300, N 2 = 1300, N3 = 11300$
-et $N 4 = 31300$, j'ai donc pris les mêmes nombres pour ma propre implémentation.
+Pour cet exemple, les strates $A_i$ seront au nombre de $10$ et $\forall i \in{\{1,...,10\}}$ $A_i =]y_{i-1}, y_i]$ où $y_i$ désigne
+le quantile $i/10$ d'une loi normale, en prenant pour convention $y_0 = - \infty $ et $y_{10} = + \infty $. Ainsi la suite des probabilités $(p_i)_{1\leq i\leq 10}$
+est constante à $1/10$. Pour cet exemple Étoré et Jourdain ont effectué quatre étapes de leur algorithme avec $N_1 = 300, N_2 = 1300, N_3 = 11300$
+et $N_4 = 31300$, j'ai donc pris les mêmes nombres pour ma propre implémentation.
 \subsubsection{Quasi Monte Carlo randomisé}
-On cherche toujours à calculer $c$ mais cette fois avec la méthode de quasi Monte Carlo randomisé dont je rappelle l'estimateur :
+On cherche toujours à calculer $\mu$ mais cette fois avec la méthode de quasi Monte Carlo randomisé dont je rappelle l'estimateur :
 \begin{equation*}
 \frac{1}{I}\sum_{i=1}^I\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N(\{\xi^{(n)}+X_{k}\})
 \end{equation*}
-Pour ce faire, j'ai utilisé la suite de Sobol à une dimension pour la suite $(\xi)_n$ et j'ai fixé $I$ constant à 100 et calculer l'estimateur pour
+Pour ce faire, j'ai utilisé la suite de Sobol à une dimension pour la suite $(\xi)_n$ et j'ai fixé $I$ constant à 100 et calculé l'estimateur pour
 différents $N \in  \{3; 13; 113; 313\}$ afin que le produit $NI$ nous donne les mêmes nombres de tirages des variables que dans le cas 
 de l'échantillonnage stratifié. Ainsi on peut comparer les deux méthodes et obtenir le tableau suivant :
 
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cgit v1.2.3-70-g09d2

