From b2ef5772372a85717f0eb5d79576fd035bf15adb Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Bertrand <bertrand.horel@gmail.com>
Date: Fri, 15 Apr 2016 13:23:27 +0200
Subject: explication algo stratified sampling

---
 doc/rapport.tex | 20 ++++++++++++++++++++
 1 file changed, 20 insertions(+)

(limited to 'doc/rapport.tex')

diff --git a/doc/rapport.tex b/doc/rapport.tex
index d6b0d8d..9246662 100644
--- a/doc/rapport.tex
+++ b/doc/rapport.tex
@@ -95,6 +95,26 @@ Tandis qu'avec un estimateur usuel de Monte-Carlo $\frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N}f(X^
 \end{equation*}
 On peut donc constater que si on décide de poser $q_i = p_i$, $\mathrm{Var}(\mu_{strat})$ atteindra la borne inférieure trouvée pour $\mathrm{Var}(\mu_{mc})$.
 Mais on peut trouver un choix de $q_i$ plus optimal en terme de réduction de variance.
+En effet :
+\begin{equation*}
+\mathrm{Var}(\mu_{strat})=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{I}\frac{p_i^2\sigma_i^2}{q_i}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^I(\frac{p_i\sigma_i}{q_i})^2q_i
+\geq\frac{1}{N}(\sum_{i=1}^I\frac{p_i\sigma_i}{q_i}q_i)^2
+\end{equation*}
+Si
+\begin{equation}
+\label{eqqi}
+\forall 1\geq i \geq  I,  q_i=\frac{p_i\sigma_i}{\sum_{j=1}^Ip_j\sigma_j}
+\end{equation}
+${Var}(\mu_{strat})$ atteindra la borne inférieure trouvée précédemment. Maintenant qu'on a décrit le principe de la méthode de l'échantillonnage stratifié,
+et qu'on a trouvé quelle est la proportion optimale de tirages à faire par strates, intéressons nous à l'algorithme pour implémenter ce modèle.
+
+\subsection{Description de l'algorithme}
+On a vu dans la section précédente que les $q_i$ optimaux dépendent de la suite $(\sigma_i)_{1\geq i\geq I}$ qui sont les variances conditionnelles de $X$
+sachant $X\in A_{i}$. Mais si ces variances sont inconnues il nous faut les estimer. On ne peut trouver la répartition optimale de tirages à faire par strates 
+du premier coup. L'idée de l'algorithme consiste donc à faire plusieurs étapes. On commence par tirer un nombre $N_1$ assez restreint de variables $(X_{i})_{1\le i \le I}$
+en choisissant une répartition déterministe, par exemple la répartition uniforme $q_i=\frac{N_1}{I}$ ce qui nous donnera un premier estimateur de  $\mu=\E(f(X))$ mais
+surtout les premiers estimateurs de $\sigma_{i}$. Ensuite on pourra tirer un nombre $N_2 > N_1$ de $(X_{i})$ avec une de nouveaux $q_i$ donnés par \eqref{eqqi}
+ce qui nous donnera un nouvel estimateur de $\mu$ (en utilisant les $N_1 + N_2$ premières valeurs) puis de nouveaux $q_i$ plus précis, et ainsi de suite.
 
 \printbibliography
 \end{document}
-- 
cgit v1.2.3-70-g09d2

