import math
from scipy.stats import norm

def d1(F, K, sigma, T):
    return (math.log(F / K) + sigma**2 * T / 2) / (sigma * math.sqrt(T))

def d2(F, K, sigma, T):
    return d1(F, K, sigma, T) - sigma * math.sqrt(T)

def d12(F, K, sigma, T):
    sigmaT = sigma * math.sqrt(T)
    d1 = (math.log(F / K) + sigma**2 * T / 2) / sigmaT
    d2 = d1 - sigmaT
    return d1, d2

def black(F, K, T, sigma, option_type = "payer"):
    d1, d2 = d12(F, K, sigma, T)
    if option_type == "payer":
        return F * norm.cdf(d1) - K * norm.cdf(d2)
    else:
       return K * norm.cdf(-d2) - F * norm.cdf(-d1)