from math import log, sqrt, erf

def d1(F, K, sigma, T):
    return (log(F / K) + sigma**2 * T / 2) / (sigma * math.sqrt(T))

def d2(F, K, sigma, T):
    return d1(F, K, sigma, T) - sigma * math.sqrt(T)

def d12(F, K, sigma, T):
    sigmaT = sigma * sqrt(T)
    d1 = log(F / K) / sigmaT
    d2 = d1
    d1 += 0.5 * sigmaT
    d2 -= 0.5 * sigmaT
    return d1, d2

def black(F, K, T, sigma, option_type="payer"):
    d1, d2 = d12(F, K, sigma, T)
    s = 1 / sqrt(2)
    if option_type == "payer":
        return 0.5 * (F * (1+erf(s*d1)) - K * (1+erf(s*d2)))
    else:
       return 0.5 * (K * (1+erf(-s*d2)) - F * (1+erf(-s*d1)))