From f64a0da4f13199dff168e3d124543998c9bc3d5f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Thibaut Horel <thibaut.horel@gmail.com>
Date: Sat, 29 May 2010 00:28:26 +0200
Subject: Quelques corrections

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@@ -33,7 +33,7 @@
 
 \maketitle
 
-\section{Bandits à $N$ bras}
+\section{Bandits à $N$ bras déterministes}
 
 \subsection{Stratégie et résultat}
 On utilise la stratégie de prédiction suivante :
@@ -233,26 +233,32 @@ que $\espc{X}{\trib{F}}=0$, alors :
 \end{lem}
 
 \begin{proof}
-On a $\eta X\leq \eta$, donc grâce au lemme \ref{inegexp}
-$$\exp(\eta X)-\eta X-1\leq X^2(e^\eta-\eta-1).$$
+On a $\eta X\leq \eta$, donc grâce au lemme \ref{inegexp} :
+\[
+\exp(\eta X)-\eta X-1\leq X^2(e^\eta-\eta-1)
+.\]
 
 En prenant de part et d'autre l'espérance conditionelle :
-$$\espc{\exp(\eta X)}{\trib{F}}\leq 1 +(e^\eta-\eta-1)\espc{X^2}{\trib{F}}.$$
+\[
+\espc{\exp(\eta X)}{\trib{F}}\leq 1 +(e^\eta-\eta-1)\espc{X^2}{\trib{F}}
+.\]
 
 On conclut alors en utilisant $1+u\leq\exp(u)$ si $u\in\set{R}$.
 \end{proof}
 
 \begin{lem}
 Soit $(X_t)$ une suite d'accroissements de martingale majorée par 1. Notons :
-$$\forall T \in \set{N}^*, \quad S_T=\sum_{t=1}^T X_t, \quad V_T=\sum_{t=1}^T
-\espc{X_t^2}{\trib{F}_{t-1}},$$
-alors, définissons, pour $\eta\in\set{R}^+$, le processus $(M_t)$ par :
+\[
+\forall T \in \set{N}^*, \quad S_T=\sum_{t=1}^T X_t, \quad V_T=\sum_{t=1}^T
+\espc{X_t^2}{\trib{F}_{t-1}},
+,\]
+et définissons, pour $\eta\in\set{R}^+$, le processus $(M_t)$ par :
 \[
 \forall t \in \set{N}^*,\quad
-M_t=\exp\big(\eta S_t-V_t\left(e^{\eta}-\eta-1\right)\big),
-\]
-$(M_t)$ est une surmartingale par rapport à la filtration $(\trib{F}_t)$ et
-$\esp{M_1}\leq 1$
+M_t=\exp\big(\eta S_t-V_t\left(e^{\eta}-\eta-1\right)\big)
+,\]
+alors $(M_t)$ est une surmartingale par rapport à la filtration $(\trib{F}_t)$
+et $\esp{M_1}\leq 1$.
 \end{lem}
 
 \begin{proof}La majoration de $\esp{M_1}$ est une application directe du
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cgit v1.2.3-70-g09d2

