From 9dd60d3912d534abfe5a59e0989ea895994999b1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Thibaut Horel Date: Sat, 7 Jul 2012 12:23:17 -0700 Subject: Initial commit --- slides/slides.tex | 298 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 298 insertions(+) create mode 100644 slides/slides.tex (limited to 'slides') diff --git a/slides/slides.tex b/slides/slides.tex new file mode 100644 index 0000000..ab90c85 --- /dev/null +++ b/slides/slides.tex @@ -0,0 +1,298 @@ +\documentclass[a4,portrait,handout,10pt]{beamer} +\usepackage[orientation=portrait,size=A4]{beamerposter} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{amsmath,amsthm} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{color} +\usepackage[french]{babel} +\title{Milieux granulaires} +\author{Enguerrand Horel} +\date{} +\usepackage{helvet} +\setbeamercovered{transparent} +\usecolortheme{dolphin} +\setbeamertemplate{caption}[numbered] +\begin{document} +\begin{frame} +\begin{center} +Les milieux granulaires, + +la ségrégation par vibration + +Étude du jouet « le sable frustrant » + +\line(1,0){250} + +\end{center} + +\vspace{20pt} + +{\color{red}I Introduction} + +\begin{itemize} +\item Les milieux granulaires + +\item Présentation du jouet : le sable frustrant + +\item La ségrégation par vibration +\end{itemize} + +\vspace{20pt} + +{\color{red}II Première expérience : hauteur de la bille en fonction du temps} +\begin{itemize} + +\item Protocole expérimental + +\item Analyse des résultats + +\end{itemize} + +\vspace{20pt} + +{\color{red}III Deuxième expérience : temps de montée de la bille en fonction de la fréquence d'agitation} + +\begin{itemize} +\item Protocole expérimental + +\item Analyse des résultats + +\item Modèle théorique : étude de la décompaction du tas de sable +\end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame} +{\color{red}Introduction} + + +{\color{blue} Les milieux granulaires} + + +\begin{itemize} +\item Définitions des matériaux granulaires. + +\item Application importante dans de nombreux secteurs de l’activité humaine. + +\item Diversité de comportement de ces matériaux. + +\end{itemize} + +\vspace{20pt} + +{\color{blue}Présentation du jouet : le sable frustrant} + +\begin{figure}[h] +\centering +\includegraphics[scale=0.30]{Image1.png} +\end{figure} + + +{\color{blue}La ségrégation par vibration} +\begin{itemize} +\item La ségrégation par vibration : propriété propre aux milieux granulaires + +\item Les particules se réordonnent suivant leur taille. +\end{itemize} + +\end{frame} + +\begin{frame} +{\color{red}Première expérience} + +{\color{blue}Protocole expérimental} + +\begin{figure}[h] +\centering +\includegraphics[scale=0.5]{Image2.png} +\end{figure} + +\begin{figure}[h] +\centering +\includegraphics[scale=0.20]{Image3.png} +\end{figure} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +{\color{blue}Analyse des résultats} + +\begin{figure}[h] +\centering +\includegraphics[scale=0.9]{Image4.png} +\renewcommand{\figurename}{Courbe} +\caption{Position de la bille en fonction du temps pour une fréquence d’agitation de 4,77Hz +} +\end{figure} + +\begin{figure}[h] +\centering +\includegraphics[scale=0.9]{Image5.png} +\renewcommand{\figurename}{Courbe} +\caption{Position de la bille en fonction du temps pour une fréquence d’agitation de 4,70Hz} +\end{figure} +\end{frame} + +\begin{frame} +{\color{red}Deuxième expérience} + + +{\color{blue}Protocole expérimental} + +\vspace{20pt} + + + +{\color{blue}Analyse des résultats} + +\begin{figure}[h] +\centering +\includegraphics[scale=0.9]{Image6.png} +\renewcommand{\figurename}{Courbe} +\caption{Temps de montée de la bille en fonction de la fréquence d'agitation} +\end{figure} + + +\begin{itemize} +\item Diminution du temps de montée de la bille quand la fréquence augmente. + +\item Asymptote verticale à 4,60Hz. + +\item Fluidification du sable quand la fréquence augmente. + +\item Dépendance entre la vitesse de la bille et de la compacité du sable. +\end{itemize} +\vspace{20pt} +\end{frame} + +\begin{frame} + +{\color{blue}Modèle théorique} +\begin{small} + +\vspace{20pt} + +{\color{green!60!black}Étude statique} + +\vspace{20pt} + +\emph{Système étudié :} + +\begin{figure}[h] +\centering +\includegraphics[scale=1.2]{Image7.png} +\end{figure} +\vspace{20pt} +\emph{Forces mises en jeu à l'équilibre :} + +\begin{itemize} + +\item Pression + +\item Poids + +\item Résultante des forces de frottement +\end{itemize} +\vspace{20pt} +\emph{Modèle de Janssen :} + +Redirection des contraintes perpendiculairement + +$$p_h = Kp_v$$ + +\vspace{20pt} +\emph{Équation de l'équilibre de la tranche étudiée :} + +$$Adp_v + K\mu_sPp_vdh = \rho gAdh$$ + +$$p_v=\rho g\frac{A}{PK\mu_s}\left[1-e^{-(K\mu_s\frac{P}{A})h}\right]$$ + +$S=\frac{Ph}{A}$, \emph{facteur de forme}. + +$\chi=SK\mu_s$, \emph{paramètre de décompaction}. + +\end{small} + +\end{frame} + +\begin{frame} + + +\begin{small} + +{\color{green!60!black}Étude dynamique de la tranche soumise à une agitation verticale :} + +\vspace{15pt} + +\emph{Principe :} + +\begin{figure}[h] +\centering +\includegraphics[scale=1.1]{Image8.png} +\end{figure} + + +\begin{itemize} + +\item Mouvement d'amplitude $a=A\sin(\omega t)$ + +\item Accélération réduite : $\Gamma=\frac{A\omega^2}{g}$. + +\item Force dirigée vers le haut, s'opposant au poids, d'intensité $\Gamma gdm$. +\end{itemize} + +\vspace{25pt} +\emph{Condition pour qu'une tranche décolle de la paroi :} + +$$\Gamma g dm-gdm\geq dF_{frott}$$ + +Hauteur limite $h_t$: + +\begin{figure}[h] +\centering +\includegraphics[scale=1.1]{Image9.png} +\end{figure} + +Taux de décompaction : + +$$\alpha=\frac{h_t}{h_0}=1+\frac{\ln(2-\Gamma)}{S_0K\mu_s}=1+\frac{\ln(2-\Gamma)}{\chi}$$ +\end{small} + + + + +\end{frame} + +\begin{frame} +\emph{Calcul de l'accélération de décompaction complète :} + +$$h_t=0$$ + +$$\Gamma_{dec}=2-e^{\chi}$$ + +\vspace{40pt} + +\emph{Calcul théorique de la fréquence caractéristique :} + +\begin{itemize} +\item Valeurs tabulées : $\mu_s = 0.3$ et $K = 0.58$ + +\item Pour notre jouet : + +$$h_0=15\text{cm}$$ +$$R=0.75\text{cm}$$ +$$A\;\;(amplitude\; du\; mouvement )\; = 2.1\text{cm}$$ + +\item $$\chi=\frac{2h_0K\mu_s}{R}$$ +$$\Gamma_{dec}=1.9=2$$ + +$${\color{red}\nu=4.86 \text{Hz}}$$ + +\end{itemize} + + +\end{frame} + + +\end{document} -- cgit v1.2.3-70-g09d2