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\numberwithin{equation}{section}



\title{Les milieux granulaires, la ségrégation par vibration. Étude du jouet « le sable frustrant »}
\author{Enguerrand Horel}
\date{}

\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents

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\section{Introduction}


\paragraph{Les milieux granulaires.}


Un matériau granulaire est un matériau formé de grains (de taille supérieure à 100 $\mu$m), ces derniers étant des parties élémentaires discernables de l’ensemble.
Les milieux granulaires ont une place très importante dans de nombreux secteurs de l’activité humaine (génie civil, industrie pharmaceutique, secteur agroalimentaire).
Cependant nous ne possédons  pas actuellement de théories qui permettraient de décrire l'ensemble des comportements observés avec ces matériaux.
Ceci peut être en partie expliqué par la nature même des ces matériaux. En effet les milieux granulaires existent sous plusieurs états et se comportent de façon très différente selon le mode d'excitation auquel ils sont soumis. 

\paragraph{Présentation du jouet : le sable frustrant.}


Face au nombre très vaste d'angles d'attaque que possèdent les milieux granulaires, l'étude d'un simple jouet me semblait une bonne idée pour étudier certains phénomènes de ces milieux dans le cadre de conditions bien précises. Le jouet utilisé s'appelle : « le sable frustrant ». C'est un cylindre en plastique transparent d'une vingtaine de cm de hauteur et d'un diamètre de 1,5 cm environ. Il contient jusqu'aux trois quarts de sa hauteur du sable fin coloré ainsi qu'une bille métallique de la largeur du tube. Le but du jeu est de faire passer la bille le plus rapidement possible d'un côté à l'autre du sable. Il apparaît lors de  l'utilisation du jouet que la bille se déplace en montant à travers le sable. 

\paragraph{La ségrégation par vibration.}


Des recherches sur le sujet indiquent que ce phénomène est une propriété propre aux milieux granulaires qui s'appelle la ségrégation par vibration. Les vibrations permettent d’agiter le milieu et les particules  se mettent en mouvement au sein de l'ensemble ; ce qui les réordonnent suivant leur taille, les particules les plus grosses se situent sur le dessus du chargement et les plus fines dessous.


\paragraph{Problématique relative au jouet dans le cadre du thème prévision.}


Dans le cadre du thème d'étude de cette année : Prévisions, et dans le but de conserver l’intérêt du jouet, deux aspects m'ont particulièrement intéressé.
Premièrement : essayer de mettre en évidence et de comprendre pourquoi la bille monte à travers le sable. Quelles sont les raisons physiques qui permettent de prévoir un tel comportement ?
Deuxièmement : mon objet d'étude étant un jouet, il m'apparaissait à la fois ludique et intéressant d'essayer de prévoir l'agitation optimale du tube, c'est à dire d'étudier le temps de montée en fonction de la fréquence.

Pour trouver une réponse à ces deux questions j'ai utilisé utilisé un système permettant d'agiter le tube suivant des oscillations verticales à amplitude constante de 2,1 cm et à fréquences variables. Une table d’acquisition reliée à un ordinateur me permet de mesurer précisément la fréquence d’agitation. Le dispositif est représenté sur la photo ci-dessous.

\begin{figure}[h]
\centering
%\includegraphics[scale=0.13]{Image1.png}
\caption{Dispositif expérimental}
\end{figure}


\section{Première expérience : hauteur de la bille en fonction du temps}


\subsection{Protocole expérimental}

Pour cette expérience j'ai utilisé le jouet et le système d'agitation décrit dans l'introduction.
Je lance l’agitation puis je l’arrête à des dates déterminées à l'aide d'un chronomètre, je mesure alors à l'aide d'un réglet  la hauteur de la bille au sein du sable par rapport au fond du tube.
La mesure de la position est précise à un demi centimètre près. Celle du temps est connue plus précisément grâce au chronomètre à la seconde près.

\subsection{Analyse des résultats}

\begin{figure}[h!]
\centering
%\includegraphics[scale=0.7]{Image2.png}
\caption{position de la bille en fonction du temps pour une fréquence d’agitation de 4,77Hz.}
\end{figure}

\begin{figure}[h!]
\centering
%\includegraphics[scale=0.7]{Image3.png}
\caption{position de la bille en fonction du temps pour une fréquence d’agitation de 4,70Hz.}
\end{figure}
Comme nous le montre la simple utilisation du jouet, nous voyons d'après les courbes ci-après qu'au cours de l'agitation la bille monte à travers le sable.
Une observation plus précise nous indique que la pente de la courbe qui représente la vitesse de la bille est de plus en plus forte : cela signifie que la bille monte de plus en plus rapidement au cours de son ascension. 
De plus, au cours de l'agitation il est visible que la compacité du sable n'est pas la même partout :  plus on regarde vers le bas du tube, plus le sable reste compact et ceci quelle que soit la position de la bille. 


\subsection{Modèle théorique : énergie potentielle de l'empilement hétérogène}


L'étude de l'énergie potentielle du sable et de la bille au sein du tube, et le principe de dilatance de Reynolds permettent de comprendre pourquoi la bille monte à travers le sable quand le jouet est soumis à une agitation verticale.

En 1885, Reynolds observait qu' “un matériau granulaire fortement compacté placé dans une enveloppe flexible, voit invariablement son volume augmenter lorsque cette enveloppe est déformée.” 

Ainsi un empilement compact soumis à une distorsion quelconque, ne peut que se dilater et, donc, voir son énergie potentielle augmenter. Partant de cette observation et réalisant que la distorsion du sable s’accompagne nécessairement de la création de défauts d’empilements, on peut maintenant se demander si ces défauts auront plutôt tendance à se trouver dans la partie basse ou dans la partie haute du sable, à partir d’arguments énergétiques.

En partant de l'hypothèse que le sable dans notre tube présente au repos une compacité maximale pour pouvoir appliquer le principe de Reynolds, nous supposons maintenant qu’un certain nombre de défauts apparaissent soit dans une zone au-dessous de la bille, soit dans une zone au-dessus, toutes les deux de même volume $v$. On peut effectuer le calcul des deux configurations dans lesquelles les défauts (sous la forme d’une variation de volume $dv$) se trouvent soit au-dessus de la bille (énergie potentielle Eps), soit au-dessous (énergie potentielle $Epi$). Ainsi  on trouve que :

$$Epi-Eps \propto vdv$$

Cela montre que la configuration dans laquelle les défauts se trouvent au-dessus de l’empilement est énergétiquement plus favorable que la configuration inverse.
Ainsi on voit que la remontée de la bille peut être considérée comme une des conséquences du principe de dilatance. En effet, l’introduction d'un intrus dans le milieu granulaire provoque nécessairement une distorsion de l'empilement qui, par conséquent se dilate en vertu du principe de Reynolds. La partie dilatée (donc moins dense) de l’empilement tend à se retrouver vers le haut en entraînant la bille vers la partie supérieure du tube.
De plus, le gradient de dilatation au sein du tube (beaucoup plus dilaté en haut qu'en bas) explique l'entraînement de plus en plus rapide de la bille. 


\section{Deuxième expérience : temps de montée de la bille en fonction de la fréquence d'agitation}

\subsection{Protocole expérimental}

Pour cette deuxième expérience, j'ai utilisé le même système que précédemment. 
Je déclenche un chronomètre en même temps que le démarrage de la machine, et donc du début de l’agitation. 
Lorsque la bille arrive au sommet du sable, j'arrête le chronomètre. Je reporte sur un graphe le temps de montée en fonction de la fréquence.

L'incertitude du temps de montée est de l'ordre de 5s. Cette incertitude importante m'a d'abord gêné car la manipulation n'est pas précise, cependant les durées très importantes mesurées aux basses fréquences réduisent l'incertitude relative des mesures aux fréquences élevées.
La mesure de la fréquence est très précise par rapport à celle du temps, en effet l'incertitude est de l'ordre du centième de hertz.

\newpage
\subsection{Analyse des résultats}

\begin{figure}[h!]
\centering
%\includegraphics[scale=0.65]{Image4.png}
\caption{Temps de montée de la bille en fonction de la fréquence d'agitation.}
\end{figure}
Premièrement on observe que le temps de montée de la bille diminue quand la fréquence augmente. 
Deuxièmement il est surprenant d'observer que le temps de montée semble tendre vers l’infini lorsque la fréquence tend vers une valeur limite aux alentours de 4.60Hz, fréquence en-deçà de laquelle la bille semble ne jamais bouger. D'ailleurs visuellement le sable ne semble pas être mis en mouvement de manière significative en dessous de cette fréquence. A l'inverse plus la fréquence est importante plus le sable se fluidifie.
Nous pouvons donc émettre l'hypothèse que la vitesse de montée de la bille dépend du caractère compact ou non du sable au-dessus de celle ci.

\subsection{Modèle théorique : étude de la décompaction du tas de sable} 


L'existence d'une fréquence au-dessous de laquelle la bille ne peut pas monter est liée aux phénomènes de décompaction du tas de sable au-dessus de la bille. En effet la bille ne pourra monter que si l'ensemble du sable la surmontant est dans un état fluidisé. Il faut donc déterminer l'accélération nécessaire à fournir au tas de sable pour le fluidiser entièrement. Dans notre cas où l'amplitude est constante, déterminer l'accélération revient à déterminer la fréquence de vibration.


\subsubsection{Statique}

\paragraph{Le modèle de Janssen}
Ce modèle de mécanique des milieux continus, proposé par H.A.Janssen dès 1895  repose sur deux postulats:
	Le milieu est considéré comme continu du point de vue du traitement mathématique.
	Du fait de leur organisation et du désordre des points de contact et des forces de frottement, les milieux granulaires ont une forte tendance à rediriger les forces perpendiculairement à la contrainte initiale. On a pour une pression verticale pv l'expression donnant la pression horizontale suivant le rapport de proportionnalité suivant:

$$p_h = Kp_v$$
où $K$ est appelé coefficient de redirection vers la paroi d'une contrainte verticale.
Dans notre cas on a $K = 0,58$.	

\paragraph{Forces mises en jeu}
Analysons maintenant les forces mises en jeu au sein du sable. On considère pour cela que le sable est composé de couches superposées et homogènes  qui frottent sur les parois latérales.

On étudie une tranche d'épaisseur $dh$ situé à une altitude $h$ dans le tube ayant une section de surface $A$ et un périmètre $P$. Cette tranche est en équilibre sous l'action de plusieurs forces:

\begin{itemize}

\item La pression, qui croît avec la profondeur, il s'agit donc d'une force résultante dirigée vers le haut de module $AdPv$.

\item Le poids, qui vaut pour la tranche considérée : $\rho Agdh$ où $\rho$ est la masse volumique du sable supposée constante dans une tranche.

\item La résultante des forces de frottement exercées par la paroi sur la tranche de sable s'oppose à la descente du sable, elle est donc dirigée vers le haut. En effet le sable a tendance à se tasser sous l'effet de la gravité, l'orientation de ce déplacement élémentaire vers le bas n'est pas arbitraire. 

La surface sur  laquelle s'exerce cette force est $Pdh$ on a donc :

$$dF_{frott}=\mu_sp_hPdh$$

\end{itemize}

  
La relation de redirection nous donne :

$$dF_{frott}=\mu_sKp_vPdh$$

On en déduit l'équation différentielle correspondant à l'équilibre de la tranche étudiée :

$$Adp_v + K\mu_sPp_vdh = \rho gAdh$$

$$\frac{dp_v}{dh}+\left(K\mu_s\frac{P}{A}\right)p_v=\rho g$$


On intègre et on obtient :

$$p_v=\rho g\frac{A}{PK\mu_s}\left[1-e^{-(K\mu_s\frac{P}{A})p_v}\right]$$

On pose $S=\frac{Ph}{A}$ , $S$ est appelé \emph{facteur de forme}, c'est une constante sans dimension.

\subsubsection{Dynamique}

\paragraph{Application dynamique du modèle de Janssen}

Il est pratique d’introduire un nombre sans dimension, appelé l’accélération réduite $\Gamma$, tel que si l’accélération réelle est $\gamma$, alors $\Gamma = \frac{\gamma}{g}$. Nous utiliserons dans la suite l’accélération réduite qui correspond à l’accélération maximale, communiquée par le plateau en mouvement d’amplitude $a=A\sin(\omega t)$, telle que : $\Gamma =\frac{A\omega^2}{g}$

\begin{figure}[h]
\centering
%\includegraphics[scale=0.7]{Image5.png}
\end{figure}

Considérons une tranche d'épaisseur $dh$ à la hauteur $h$. Elle subit une accélération verticale dirigée vers le haut. Elle subit donc une force dirigée vers le haut, s'opposant au poids et d'intensité $\Gamma gdm$.
Il peut être intéressant de connaître à partir de quelle hauteur le sable est décompacté. La condition pour qu'une tranche décolle de la paroi s'écrit :

$$\Gamma g dm-gdm\geq dF_{frict}$$

avec

$$dF_{frict}=K\mu_sPp_vdh,\;\;dm=\rho Adh$$

Ainsi pour accélération réduite $\Gamma$ donnée, on défini une hauteur limite ht: hauteur de transition au-dessous de laquelle le sable est compacté et au-dessus de laquelle il se détache et est décompacté. On a l'équation suivante:

$$\frac{K\mu_s P}{\rho g A}p_v=\Gamma-1$$

où

$$P_v=\rho g \frac{A}{PK\mu_s}\left[1-e^{-K\mu_s\frac{P}{A}(h_t-h_0)}\right ]$$




Le facteur de forme est $S_0=\frac{Ph_0}{A}$ où $h_0$ est la hauteur de l'empilement. On peut calculer le taux de décompaction, rapport entre la hauteur de transition et la hauteur initiale de l'empilement compact:

$$\alpha=\frac{h_t}{h_0}=1+\frac{\ln(2-\Gamma)}{S_0K\mu_s}=1+\frac{\ln(2-\Gamma)}{\chi}$$

On peut maintenant calculer l'accélération nécessaire pour obtenir la décompaction complète du tas, c'est cette accélération qui nous intéresse particulièrement : on l'appelle accélération de décollage. 

Elle est obtenue lorsque $h_t=0$ :

$$\Gamma_{dec}=2-e^{-\chi}$$


\paragraph{Calcul théorique de la fréquence caractéristique}

D'après des valeurs tabulées nous avons :
$\mu s = 0.3$ et $K = 0.58$

Pour notre jouet $h_0$=15 cm,  $R$=0.75 cm et  $A$ (amplitude du mouvement) = 2.1 cm

$$\chi = \frac{2h_0K\mu_s}{R}$$

AN :  

$$\Gamma_{dec} = 1.9 = 2,\;\;\nu = 4.86\mathrm{ Hz}$$

Cette valeur obtenue proche de la valeur de 4,6 Hz touvée expérimentalement valide le modèle employé pour décrire le mouvement de la bille.

\bibliographystyle{amsplain}
\begin{thebibliography}{10}

\bibitem{Duran} Duran J. \emph{Sable, poudres et grains. Introduction à la physique des matériaux granulaires} ; 1996.  

\bibitem{Poliquen} Poliquen O. \emph{Les milieux granulaires. Entre fluide et solide} ; 2001.

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\bibitem{E} Evesque P. \emph{Mélange et Ségrégation dans un milieu granulaire}.

\bibitem{M} Metha A., Barker G.C., Luck J.M., \emph{Heterogenities in granular materials} ; 2009.



\end{thebibliography}


\end{document}
