\documentclass[a4,portrait,handout,10pt]{beamer}
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\title{Milieux granulaires}
\author{Enguerrand Horel}
\date{}
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\begin{document}
\begin{frame}
\begin{center}
Les milieux granulaires,

la ségrégation par vibration

Étude du jouet « le sable frustrant »

\line(1,0){250}

\end{center}

\vspace{20pt}

{\color{red}I Introduction}

\begin{itemize}
\item Les milieux granulaires

\item Présentation du jouet : le sable frustrant

\item La ségrégation par vibration
\end{itemize}

\vspace{20pt}

{\color{red}II Première expérience : hauteur de la bille en fonction du temps}
\begin{itemize}

\item Protocole expérimental

\item Analyse des résultats

\end{itemize}

\vspace{20pt}

{\color{red}III Deuxième expérience : temps de montée de la bille en fonction de la fréquence d'agitation}

\begin{itemize}
\item Protocole expérimental

\item Analyse des résultats

\item Modèle théorique : étude de la décompaction du tas de sable 
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
{\color{red}Introduction}


{\color{blue} Les milieux granulaires}


\begin{itemize}
\item Définitions des matériaux granulaires.

\item Application importante dans de nombreux secteurs de l’activité humaine.

\item Diversité de comportement de ces matériaux.

\end{itemize}

\vspace{20pt}

{\color{blue}Présentation du jouet : le sable frustrant}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.30]{Image1.png}
\end{figure}


{\color{blue}La ségrégation par vibration}
\begin{itemize}
\item La ségrégation par vibration : propriété propre aux milieux granulaires

\item Les particules  se réordonnent suivant leur taille.
\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}
{\color{red}Première expérience}

{\color{blue}Protocole expérimental}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{Image2.png}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.20]{Image3.png}
\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}

{\color{blue}Analyse des résultats}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.9]{Image4.png}
\renewcommand{\figurename}{Courbe}
\caption{Position de la bille en fonction du temps pour une fréquence d’agitation de 4,77Hz
}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.9]{Image5.png}
\renewcommand{\figurename}{Courbe}
\caption{Position de la bille en fonction du temps pour une fréquence d’agitation de 4,70Hz}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
{\color{red}Deuxième expérience}


{\color{blue}Protocole expérimental}

\vspace{20pt}



{\color{blue}Analyse des résultats}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.9]{Image6.png}
\renewcommand{\figurename}{Courbe}
\caption{Temps de montée de la bille en fonction de la fréquence d'agitation}
\end{figure}


\begin{itemize}
\item Diminution du temps de montée de la bille quand la fréquence augmente.

\item Asymptote verticale à 4,60Hz.

\item Fluidification du sable quand la fréquence augmente.

\item Dépendance entre la vitesse de la bille et de la compacité du sable.
\end{itemize}
\vspace{20pt}
\end{frame}

\begin{frame}

{\color{blue}Modèle théorique}
\begin{small}

\vspace{20pt}

{\color{green!60!black}Étude statique}

\vspace{20pt}

\emph{Système étudié :}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=1.2]{Image7.png}
\end{figure}
\vspace{20pt}
\emph{Forces mises en jeu à l'équilibre :} 

\begin{itemize}

\item Pression

\item Poids

\item Résultante des forces de frottement
\end{itemize}
\vspace{20pt}
\emph{Modèle de Janssen :}
	
Redirection des contraintes perpendiculairement

$$p_h = Kp_v$$

\vspace{20pt}
\emph{Équation de l'équilibre de la tranche étudiée :}

$$Adp_v + K\mu_sPp_vdh = \rho gAdh$$

$$p_v=\rho g\frac{A}{PK\mu_s}\left[1-e^{-(K\mu_s\frac{P}{A})h}\right]$$

$S=\frac{Ph}{A}$, \emph{facteur de forme}.

$\chi=SK\mu_s$, \emph{paramètre de décompaction}.

\end{small}

\end{frame}

\begin{frame}


\begin{small}

{\color{green!60!black}Étude dynamique de la tranche soumise à une agitation verticale :}
 
\vspace{15pt}

\emph{Principe :}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=1.1]{Image8.png}
\end{figure}


\begin{itemize}

\item Mouvement d'amplitude $a=A\sin(\omega t)$

\item Accélération réduite : $\Gamma=\frac{A\omega^2}{g}$.

\item Force dirigée vers le haut, s'opposant au poids, d'intensité $\Gamma gdm$.
\end{itemize}

\vspace{25pt}
\emph{Condition pour qu'une tranche décolle de la paroi :}

$$\Gamma g dm-gdm\geq dF_{frott}$$

Hauteur limite $h_t$:

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=1.1]{Image9.png}
\end{figure}

Taux de décompaction :

$$\alpha=\frac{h_t}{h_0}=1+\frac{\ln(2-\Gamma)}{S_0K\mu_s}=1+\frac{\ln(2-\Gamma)}{\chi}$$
\end{small}

  


\end{frame}

\begin{frame}
\emph{Calcul de l'accélération de décompaction complète :}

$$h_t=0$$

$$\Gamma_{dec}=2-e^{\chi}$$

\vspace{40pt}

\emph{Calcul théorique de la fréquence caractéristique :}

\begin{itemize}
\item Valeurs tabulées : $\mu_s = 0.3$ et $K = 0.58$

\item Pour notre jouet :

$$h_0=15\text{cm}$$
$$R=0.75\text{cm}$$ 
$$A\;\;(amplitude\; du\; mouvement )\; = 2.1\text{cm}$$

\item $$\chi=\frac{2h_0K\mu_s}{R}$$
$$\Gamma_{dec}=1.9=2$$

$${\color{red}\nu=4.86 \text{Hz}}$$

\end{itemize}


\end{frame}


\end{document}