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diff --git a/doc/rapport.tex b/doc/rapport.tex index 3efc6c3..ba326f8 100644 --- a/doc/rapport.tex +++ b/doc/rapport.tex @@ -65,7 +65,7 @@ Pour cette classe de fonctions on a une réduction de variance par un facteur de On s'interesse maintenant à la convergence vers la loi normale de notre estimateur. On rappelle d'abord le cas d'une méthode de Monte-Carlo classique. Soit $X$ une variable aléatoire, on note $\mu = \E[f(X)]$ son espérance qu'on cherche à calculer et $\sigma$ son écart type. Alors si les $(X_n)_{1\leq n\leq N}$ sont $N$ tirages de la variable $X$, $\bar{X}_N=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nf(X_n)$ sera notre estimateur de $\mu$ et on aura l'intervalle de confiance -asymptotique usuel pour $\mu$ de la forme : $\mathopen{[}\bar{X}_N-c_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{N}};\bar{X}_N+c_{\alpha}\frac{\alpha}{\sqrt{N}}\mathclose{]}$ +asymptotique usuel pour $\mu$ de la forme : $[\bar{X}_N-c_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{N}},\bar{X}_N+c_{\alpha}\frac{\alpha}{\sqrt{N}}]$ avec $\alpha$ le niveau désiré pour l'intervalle et $c_{\alpha}$ le quantile en $1-\frac{\alpha}{2}$ d'une loi gaussienne centrée réduite. Dans l'article \cite{tuffin2004randomization}, Tuffin suggère d'utiliser la borne de Berry-Esseen pour le cas non asymptotique. Si on introduit les quantités @@ -97,8 +97,8 @@ Alors que Tuffin trouve : ce qui me semble être une erreur. Si on veut comparer les demi-tailles des intervalles de confiance, on voit que l'intervalle de Tuffin rajoute $\frac{C\beta}{\sigma^2N}$ à l'intervalle habituel assymptotique tandis que je trouve un intervalle possiblement égal à $\mathbb{R}$ tout entier pour des petites valeurs de $N$. -C'est pourquoi dans les applications ultérieures j'utilise l'intervalle classique $\mathopen{[}\bar{X}_N-c_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{N}}; -\bar{X}_N+c_{\alpha}\frac{\alpha}{\sqrt{N}}\mathclose{]}$. +C'est pourquoi dans les applications ultérieures j'utilise l'intervalle classique $[\bar{X}_N-c_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{N}}, +\bar{X}_N+c_{\alpha}\frac{\alpha}{\sqrt{N}}]$. \section{Échantillonnage stratifié} \subsection{Présentation mathématique} @@ -159,18 +159,18 @@ ce qui nous donnera un nouvel estimateur de $\mu$ (en utilisant les $N_1 + N_2$ \section{Exemples} \subsection{Calcul de l'espérance d'une loi normale} -Dans ce premier exemple assez simple, on va chercher à calculer $ c = \E[X]$ où $X$ suit une loi normale centrée réduite +Dans ce premier exemple assez simple, on va chercher à calculer $ \mu = \E[X]$ où $X$ suit une loi normale centrée réduite \subsubsection{Échantillonnage stratifié} -Pour cet exemple, les strates $A_i$ seront au nombre de $10$ et $\forall i \in{\{1,...,10\}}$ $A_i =\mathopen{]}y_{i-1}; y_i \mathclose{[}$ où $y_i$ désigne -le quantile $i/10$ d'une loi normale, en prenant pour convention $y_0 = - \infty $ et $y_1 = + \infty $. Ainsi la suite des probabilités $(p_i)_{1\leq i\leq 10}$ -est constante à $1/10$. Pour cet exemple Étoré et Jourdain ont effectuer quatre étapes de leur algorithme avec $N 1 = 300, N 2 = 1300, N3 = 11300$ -et $N 4 = 31300$, j'ai donc pris les mêmes nombres pour ma propre implémentation. +Pour cet exemple, les strates $A_i$ seront au nombre de $10$ et $\forall i \in{\{1,...,10\}}$ $A_i =]y_{i-1}, y_i]$ où $y_i$ désigne +le quantile $i/10$ d'une loi normale, en prenant pour convention $y_0 = - \infty $ et $y_{10} = + \infty $. Ainsi la suite des probabilités $(p_i)_{1\leq i\leq 10}$ +est constante à $1/10$. Pour cet exemple Étoré et Jourdain ont effectué quatre étapes de leur algorithme avec $N_1 = 300, N_2 = 1300, N_3 = 11300$ +et $N_4 = 31300$, j'ai donc pris les mêmes nombres pour ma propre implémentation. \subsubsection{Quasi Monte Carlo randomisé} -On cherche toujours à calculer $c$ mais cette fois avec la méthode de quasi Monte Carlo randomisé dont je rappelle l'estimateur : +On cherche toujours à calculer $\mu$ mais cette fois avec la méthode de quasi Monte Carlo randomisé dont je rappelle l'estimateur : \begin{equation*} \frac{1}{I}\sum_{i=1}^I\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N(\{\xi^{(n)}+X_{k}\}) \end{equation*} -Pour ce faire, j'ai utilisé la suite de Sobol à une dimension pour la suite $(\xi)_n$ et j'ai fixé $I$ constant à 100 et calculer l'estimateur pour +Pour ce faire, j'ai utilisé la suite de Sobol à une dimension pour la suite $(\xi)_n$ et j'ai fixé $I$ constant à 100 et calculé l'estimateur pour différents $N \in \{3; 13; 113; 313\}$ afin que le produit $NI$ nous donne les mêmes nombres de tirages des variables que dans le cas de l'échantillonnage stratifié. Ainsi on peut comparer les deux méthodes et obtenir le tableau suivant : |