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@@ -202,7 +202,7 @@ Si $\E[f^2(X)]<\infty$ et si $k/N ^k\to0$ quand $k\to \infty$ alors :
 \begin{equation*}
 \sqrt{N^k}(\mu_{strat}^k-\mu)\underset{k\to\infty}{\overset{d}{\longrightarrow}}\mathcal{N}(0,\sigma^2_*)
 \end{equation*}
-avec $\sigma_*=\sum_i^Ip_i\sigma_i$, ce qui atteint la borne inférieure de $\textrm{Var}(\mu_{strat})$ trouvée en \eqref{eq:borninf}.
+avec $\sigma_*=\sum_{i=1}^Ip_i\sigma_i$, ce qui atteint la borne inférieure de $\textrm{Var}(\mu_{strat})$ trouvée en \eqref{eq:borninf}.
 
 \section{Exemples}
 \subsection{Calcul de l'espérance d'une loi normale}
@@ -334,15 +334,16 @@ classe \texttt{\detokenize{monte_carlo}}.
 
 L'algorithme de l'achantillonnage stratifié adaptatif est principalement implémenté dans la méthode \texttt{update}
 de \texttt{\detokenize{stratified_sampling}} qui a un type abstrait. Pour l'exemple de l'option asiatique on doit d'abord résoudre
-le problème d'optimisation donné dans la formule 3.2 de l'article d'Etoré-Jourdain, l'implémentation se trouve dans \texttt{opti.cpp},
-j'ai utlisé un algorithme de la librairie Nlopt appelé \texttt{COBYLA}\footnote{\url{http://ab-initio.mit.edu/wiki/index.php/NLopt_Algorithms\#COBYLA_.28Constrained_Optimization_BY_Linear_Approximations.29}}. La classe \texttt{\detokenize{exponential_tilt}} qui est dérivée
+le problème d'optimisation donné dans la formule 3.2 de l'article d'Etoré-Jourdain, l'implémentation se trouve dans \texttt{opti.cpp}.
+J'ai utilisé un algorithme de la librairie NLopt appelé \texttt{COBYLA}\footnote{\url{http://ab-initio.mit.edu/wiki/index.php/NLopt_Algorithms\#COBYLA_.28Constrained_Optimization_BY_Linear_Approximations.29}}. La classe \texttt{\detokenize{exponential_tilt}} qui est dérivée
 de la structure \texttt{\detokenize{unary_function}} est utilisée pour le décalage de nos variables aléatoires décrit plus haut.
 
-Enfin j'ai créé une structure \texttt{\detokenize{asian_option}} qui en fonction des différents
-paramètres de l'option et du booléen qui indique si nous sommes dans le cas put ou call nous renverra une évaluation du pay-off de l'option.
-Elle est dérivée de \texttt{\detokenize{unary_function}} et peut donc s'utiliser directement pour nos exemples comme argument des template de
-\texttt{\detokenize{quasi_mean}} ou de \texttt{\detokenize{exponential_tilt}}.
+\subsection{Option}
+Enfin j'ai créé une structure \texttt{\detokenize{asian_option}} qui, en arguments du constructeur, prend les différents
+paramètres de l'option, ainsi qu'un booléen qui indique si nous sommes dans le cas d
+ un put ou d'un call. L'operator \texttt{\detokenize{()}} nous renverra une évaluation du pay-off de l'option.
+Elle est dérivée de \texttt{\detokenize{unary_function}} et peut donc s'utiliser directement dans nos exemples comme argument des templates de
+\texttt{\detokenize{quasi_mean}} ou de \texttt{\detokenize{exponential_tilt}}. Ces structures se combinent élégamment entre elles. Par exemple, pour faire un tirage de quasi Mont-Carlo avec $I$ tirages aléatoires, $N$ valeurs de la suite, à discrépence faible, et $d$ la dimension du problème, il suffit d'appeler : \texttt{\detokenize{monte_carlo(I, quasi_mean<asian_option, sobol> (N, d, A)}}
 
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 \printbibliography
 \end{document}