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\documentclass[a4paper, 11pt, french]{article}
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\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\begin{document}
\section*{Introduction}
Sujet : Comparer les performances des méthodes de stratification exposées dans \cite{etore:hal-00192540}
et de QMC randomisées exposées dans \cite{tuffin2004randomization} sur les exemples présentés dans \cite{etore:hal-00192540}
Références : \cite{etore:hal-00192540} \cite{tuffin2004randomization}
\section{Quasi Monte Carlo randomisé}
\subsection{Présentation mathématique}
On suppose qu'on cherche à calculer
\begin{equation}
I=\int_{[0,1]^s}f(x)dx
\end{equation}
Soit $(\xi^{(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ une suite à discrépance faible à valeurs dans $[0,1]^s$.
Au bout de N tirages de cette suite, la méthode de quasi Monte Carlo usuelle nous donnerait une approximation de la valeur de $I$
par la formule :
\begin{equation}
I\approx\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nf(\xi^{(n)})
\end{equation}
La méthode de quasi Monte Carlo randomisé consite à rajouter un décalage aléatoire à la suite $(\xi^{(n)})$. Soit $X$ une variable aléatoire
uniformément distribuée sur ${[0,1]^s}$. On s'intéresse dorénavant à la somme aléatoire :
\begin{equation}
Z=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nf(\{\xi^{(n)}+X\})
\end{equation}
où \{$X$\} désigne la partie fractionnaire de $X$.
L'idée consiste à faire K tirages de $Z$, ce qui consiste à faire K tirages de $X$ vu que la suite $(\xi^{(n)})$ est déterministe, puis de faire
une méthode de Monte Carlo classique sur ces K tirages. On a donc :
\begin{equation}
I\approx\frac{1}{I}\sum_{i=1}^IZ_{i}=\frac{1}{I}\sum_{i=1}^I\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nf(\{\xi^{(n)}+X_{i}\})
\end{equation}
\subsection{Calcul de vitesse de d'intervalle de confiance}
On veut calculer l'espérance : $\E(f(X))=\sum_{i=1}^Ip_if(X_i)$
\begin{equation}
\label{eqesti}\hat{c}=\sum_{i=1}^I\frac{p_i}{N_i}\sum_{j=1}^{N_i}f(X_i^j)=
\frac{1}{N}\sum_{i=1}^I\frac{p_i}{q_i}\sum_{j=1}^{q_iN}f(X_i^j)
\end{equation}
\[a \leq b \]
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\input{table.tex}
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\printbibliography
\end{document}
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