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diff --git a/rapport.tex b/rapport.tex index b53b365..8716905 100644 --- a/rapport.tex +++ b/rapport.tex @@ -135,21 +135,59 @@ et : \] D'où on déduit de \eqref{base} : -\[ +\begin{equation}\label{etape2} +\begin{split} (1-\gamma)\max_{1\leq i\leq N}\widetilde{G}_{i,T} -\frac{1-\gamma}{\eta}\ln N -\leq G_T + TN\beta +\eta(1+\beta)\sum_{i=1}^N\widetilde{G}_{i,T} -\] +&\leq G_T + TN\beta +\eta(1+\beta)\sum_{i=1}^N\widetilde{G}_{i,T}\\ +&\leq G_T + TN\beta +\eta(1+\beta)N\max_{1\leq i\leq N}\widetilde{G}_{i,T} +\end{split} +\end{equation} + +% On souhaite maintenant relier les gains estimés aux gains +% réels. On remarque que : +% \[ +% \espc{g_{i,t}-\widetilde{g}_{i,t}}{\trib{F}_{t-1}}=-\frac{\beta}{p_{i,t}} +% .\] +% Donc le processus $(X_t)$ défini par +% \[ +% X_t=g_{i,t}-\widetilde{g}_{i,t}+\frac{\beta}{p_{i,t}} +% ,\] +% est une suite d'accroissements de martingale. \paragraph{Étape 3}On souhaite maintenant relier les gains estimés aux gains -réels. On remarque que : +réels. On choisit $\beta=\sqrt{\ln(N/\delta)/TN}$, alors avec probabilité +supérieure à $1-\delta$ : \[ -\espc{g_{i,t}-\widetilde{g}_{i,t}}{\trib{F}_{t-1}}=-\frac{\beta}{p_{i,t}} -.\] -Donc le processus $(X_t)$ défini par +\max_{1\leq i\leq N} G_{i,T}-\max_{1\leq i\leq N}\widetilde{G}_{i,T} +\leq TN\beta = \sqrt{TN\ln\left(\frac{N}{\delta}\right)} +\] + +\paragraph{Étape 4}On repart de \eqref{etape2} : \[ -X_t=g_{i,t}-\widetilde{g}_{i,t}+\frac{\beta}{p_{i,t}} -,\] -est une suite d'accroissements de martingale. +\left[1-\gamma-\eta(1+\beta)N\right]\max_{1\leq i\leq N}\widetilde{G}_{i,T} +\leq G_T+TN\beta+\frac{1-\gamma}{\eta}\ln N +\] +puis en utilisant l'étape 3, en remarquant que $0\leq +1-\gamma-\eta(1+\beta)N\leq 1$ : +\[ +\left[1-\gamma-\eta(1+\beta)N\right]\left(\max_{1\leq i\leq N}G_{i,T}-TN\beta +\right) +\leq G_T+TN\beta+\frac{1-\gamma}{\eta}\ln N +\] +\[ +\left[1-\gamma-\eta(1+\beta)N\right]\max_{1\leq i\leq N}G_{i,T} +\leq G_T+2TN\beta+\frac{1-\gamma}{\eta}\ln N +\] +On exprime maintenant cette inégalité en termes de pertes : +\[ +\left[1-\gamma-\eta(1+\beta)N\right]\left(T-\min_{1\leq i\leq N}L_{i,T}\right) +\leq T-L_T+2TN\beta+\frac{1-\gamma}{\eta}\ln N +\] +d'où : +\[ +L_T - \min_{1\leq i\leq N}L_{i,T} +\leq\left(\gamma+\eta(1+\beta)N\right)T +2TN\beta+\frac{1-\gamma}{\eta}\ln N +\] \section{Appendice} @@ -362,42 +400,55 @@ directement la variance conditionnelle du processus : \begin{cor} Soit $(X_1,\ldots,X_T)$ une suite d'accroissements de -martingale par rapport à la filtration $(\trib{F}_t)$. Supposons -qu'il existe $K>0$ tel que : +martingale par rapport à la filtration $(\trib{F}_t)$. Supposons que $V_T\geq +1$ et qu'il existe $K>0$ tel que : \[ \forall t \in \{1,\ldots,T\},\quad \left|X_t\right|\leq K, \] -alors, avec probabilité supérieure à $1-\delta$ : +alors, avec probabilité supérieure à $1-\delta$ et pour $T\geq 3$ : +\[ +\forall C\in\left]1 ;+\infty\right[,\quad +S_T\leq\frac{2K}{3}\ln\left(\frac{\ln T}{\delta}\frac{(1+\ln C)}{\ln C}\right)+ +\sqrt{2CV_T\ln\left(\frac{\ln T}{\delta}\frac{(1+\ln C)}{\ln C}\right)} +.\] + +En particulier, en choisissant $C=3/2$, on obtient : \[ -S_T\leq\frac{2K}{3}\ln\left(\frac{T}{\delta}\right)+ -\sqrt{2(V_T+K^2)\ln\left(\frac{T}{\delta}\right)} +S_T\leq\frac{2K}{3}\ln\left(\frac{\ln T}{\delta/4}\right)+ +\sqrt{3V_T\ln\left(\frac{\ln T}{\delta/4}\right)} .\] \end{cor} \begin{proof} -D'après le corollaire précédent, pour tout $t\in\{1,\ldots,T\}$ : +Posons $N=\lceil\ln T/\ln C\rceil$ +D'après le corollaire précédent, pour tout $r\in\{1,\ldots,N\}$ : \[ -\prob{S_T\geq \frac{2K}{3}\ln\left(\frac{T}{\delta}\right)+ -\sqrt{2K^2t\ln\left(\frac{T}{\delta}\right)} -\ \mathrm{et}\ V_T\leq K^2t}\leq\frac{\delta}{T} +\prob{S_T\geq \frac{2K}{3}\ln\left(\frac{N}{\delta}\right)+ +\sqrt{2K^2C^r\ln\left(\frac{N}{\delta}\right)} +\ \mathrm{et}\ V_T\leq K^2C^r}\leq\frac{\delta}{N} \] D'où : \[ -\prob{S_T\geq \frac{2K}{3}\ln\left(\frac{T}{\delta}\right)+ -\sqrt{2(V_T+K^2)\ln\left(\frac{T}{\delta}\right)} -\ \mathrm{et}\ K^2(t-1)\leq V_T\leq K^2t}\leq\frac{\delta}{T} +\prob{S_T\geq \frac{2K}{3}\ln\left(\frac{N}{\delta}\right)+ +\sqrt{2CV_T\ln\left(\frac{N}{\delta}\right)} +\ \mathrm{et}\ K^2C^{r-1}\leq V_T\leq K^2C^r}\leq\frac{\delta}{N} \] -Or, vu que $0\leq V_T\leq K^2T$, en sommant l'inégalité précédente pour -$t\in\{1,\ldots,T\}$, on obtient : +Or, vu que $1\leq V_T\leq K^2T\leq K^2C^N$, en sommant l'inégalité précédente +pour +$r\in\{1,\ldots,N\}$, on obtient : \[ -\prob{S_T\geq \frac{2K}{3}\ln\left(\frac{T}{\delta}\right)+ -\sqrt{2(V_T+K^2)\ln\left(\frac{T}{\delta}\right)}}\leq\delta -.\qedhere +\prob{S_T\geq \frac{2K}{3}\ln\left(\frac{N}{\delta}\right)+ +\sqrt{2CV_T\ln\left(\frac{N}{\delta}\right)}}\leq\delta +. \] -\end{proof} - +On conclut en remarquant que, si $T\geq 3$ : +\[ +N\leq\frac{\ln T}{\ln C}+1=\ln T\frac{(1+\ln C/\ln T)}{\ln C} +\leq \ln T\frac{(1+\ln C)}{\ln C}\qedhere +\] +\end{proof} \end{document} |