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index 92443c8..cad4431 100644
--- a/stage/article.tex
+++ b/stage/article.tex
@@ -328,13 +328,13 @@ La vérification de la preuve est assez similaire à la vérification effectuée
 
 \section{Analyse} 
 
-Nous nous intéressons ici à ce que garantie une preuve fournie par un pair et approuvée par la vérification de la Spec. \ref{lst-proof}.
+Nous nous intéressons ici à ce que garantit une preuve fournie par un pair et approuvée par la vérification de la Spec. \ref{lst-proof}.
 
 \begin{thm}\label{thm}
 Si :
 \begin{itemize}
   \item le serveur n'est pas corrompu
-  \item les pairs ne partagent pas leur clé privé
+  \item les pairs ne partagent pas leur clé privée
 \end{itemize}
 Alors si le pair $p$ fournit une preuve valide de sa présence pour la ronde $i$, c'est-à-dire une preuve passant les quatre tests suivants:
 \begin{enumerate}
@@ -362,7 +362,7 @@ Par récurrence :
 \item Le test 1. et l'intégrité du serveur nous assurent que branch$^i$[0] a été calculée avant $t_i + T_i$. En effet, le serveur commence à diffuser branch$^i$[0] à l'instant $t_i+T_i$.
 \item Supposons que les tables branch$^i$[0] à branch$^i$[k] aient été calculées avant $t_i+T_i$. Nous savons par le test 3. que $t=$hash(branch$^i$[k+1])$\in$ branch$^i$[k]. Supposons alors par l'absurde que $m=$branch$^i$[k+1] ait été calculée après l'instant $t_i+T_i$ par un certain pair $q$. Alors, étant donné $t$, $q$ a été capable de calculer $m$ tel que hash($m$)$=t$ ce qui serait une attaque contre la première préimage et contredit l'hypothèse faite sur la fonction de hachage.
 
-\paragraph{Conclusion} Les deux première étapes de la preuve et le test 4 nous assurent donc que S$^i_{p}$ a été calculé par $p$ après $t_i$ et transmis avant $t_i+T^i$. Donc $p$ a communiqué avec au mois un pair pendant la ronde $i$ pour lui transmettre S$^i_p$, ce qui prouve le résultat annoncé.
+\paragraph{Conclusion} Les deux premières étapes de la preuve et le test 4 nous assurent donc que S$^i_{p}$ a été calculé par $p$ après $t_i$ et transmis avant $t_i+T^i$. Donc $p$ a communiqué avec au mois un pair pendant la ronde $i$ pour lui transmettre S$^i_p$, ce qui prouve le résultat annoncé.
 \end{proof}
 
 \begin{rem}
@@ -375,7 +375,7 @@ N'ayant pas à ma disposition de réseau pair-à-pair de grande échelle, j'ai c
 
 \subsection{Modélisation de la présence des pairs}
 
-Plusieurs analyses \cite{Chu02availabilityand, Sacha09exploitingheterogeneity} ainsi que des analyses que j'ai faites sur des traces de réseaux pair-à-pair réels montrent que la durée des sessions (périodes durant laquelle un pair est connecté) peut être modélisée par une loi géométrique. J'ai donc choisi de modéliser la présence des pairs par une chaîne de Markov à deux états, ON et OFF. La matrice de transition de la chêne est entièrement déterminée par deux paramètres, $\lambda$ et $\mu$, respectivement la probabilité de passer de OFF à ON et de OFF à ON. Il est immédiat que la durée d'une session (temps passé dans l'état ON) suit une loi géométrique de paramètre $\mu$ (et donc d'espérance $\frac{1}{\mu}$). De plus il est connu que les fractions du temps passé dans l'état ON et OFF sont les probabilités de la loi stationnaire associée à la chaîne :
+Plusieurs analyses \cite{Chu02availabilityand, Sacha09exploitingheterogeneity} ainsi que des analyses que j'ai faites sur des traces de réseaux pair-à-pair réels montrent que la durée des sessions (périodes durant laquelle un pair est connecté) peut être modélisée par une loi géométrique. J'ai donc choisi de modéliser la présence des pairs par une chaîne de Markov à deux états, ON et OFF. La matrice de transition de la chaîne est entièrement déterminée par deux paramètres, $\lambda$ et $\mu$, respectivement la probabilité de passer de OFF à ON et de OFF à ON. Il est immédiat que la durée d'une session (temps passé dans l'état ON) suit une loi géométrique de paramètre $\mu$ (et donc d'espérance $\frac{1}{\mu}$). De plus il est connu que les fractions du temps passé dans l'état ON et OFF sont les probabilités de la loi stationnaire associée à la chaîne :
 
 \begin{displaymath}
 t_{OFF} = \frac{\mu}{\lambda + \mu} \qquad t_{ON} = \frac{\lambda}{\lambda + \mu}