suite de rqmc latex

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@@ -21,28 +21,43 @@ On suppose qu'on cherche à calculer
 I=\int_{[0,1]^s}f(x)dx
 \end{equation}
 Soit $(\xi^{(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ une suite à discrépance faible à valeurs dans $[0,1]^s$.
-Au bout de N tirages de cette suite, la méthode de quasi Monte Carlo usuelle nous donnerait une approximation de la valeur de $I$
+Au bout de N tirages de cette suite, la méthode de quasi Monte Carlo  nous donnerait une approximation de la valeur de $I$
 par la formule :
 \begin{equation}
 I\approx\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nf(\xi^{(n)})
 \end{equation}
-La méthode de quasi Monte Carlo randomisé consite à rajouter un décalage aléatoire à la suite $(\xi^{(n)})$. Soit $X$ une variable aléatoire
+Le souci de cette méthode est de ne pas pouvoir obtenir d'erreur de l'estimateur facilement. En effet l'inégalité de Koksma–Hlawka nous donne une borne de 
+cette erreur mais nécessite de pouvoir calculer la variation finie de la fonction f ce qui n'est pas toujours possible en pratique. C'est pourquoi on introduit
+la méthode de quasi Monte Carlo randomisé. Elle consite à rajouter un décalage aléatoire à la suite $(\xi^{(n)})$. Soit $X$ une variable aléatoire
 uniformément distribuée sur ${[0,1]^s}$. On s'intéresse dorénavant à la somme aléatoire :
 \begin{equation}
 Z=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nf(\{\xi^{(n)}+X\})
 \end{equation} 
 où \{$X$\} désigne la partie fractionnaire de $X$.
-L'idée consiste à faire K tirages de $Z$, ce qui consiste à faire K tirages de $X$ vu que la suite $(\xi^{(n)})$ est déterministe, puis de faire
-une méthode de Monte Carlo classique sur ces K tirages. On a donc :
+L'idée consiste à faire $K$ tirages de $Z$, ce qui consiste à faire K tirages de $X$ vu que la suite $(\xi^{(n)})$ est déterministe, puis de faire
+une méthode de Monte Carlo classique sur ces $K$ tirages. On a donc :
 \begin{equation}
-I\approx\frac{1}{I}\sum_{i=1}^IZ_{i}=\frac{1}{I}\sum_{i=1}^I\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nf(\{\xi^{(n)}+X_{i}\})
+\label{eqrqmc}I\approx\frac{1}{K}\sum_{k=1}^KZ_{k}=\frac{1}{K}\sum_{k=1}^K\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nf(\{\xi^{(n)}+X_{k}\})
 \end{equation} 
-
-\subsection{Calcul de vitesse de d'intervalle de confiance}
+Il convient maintenant d'estimer l'avantage de cette méthode par rapport à une technique de Monte-Carlo usuelle, en terme de réduction de variance. 
+On voit dans \eqref{eqrqmc} qu'il nous coûte $NK$ évaluations de la fonction $f$ pour calculer notre estimation de $I$.
+Donc la variance pour la méthode de Monte-Carlo de base serait :
+\begin{equation}
+\mathrm{Var}(\frac{1}{NK}\sum_{n=1}^{NK}f(X_n))=\frac{1}{NK}\mathrm{Var}(f(X))
+\end{equation}
+Il nous faut la comparer avec :
+\begin{equation}
+\mathrm{Var}(\frac{1}{K}\sum_{k=1}^K\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nf(\{\xi^{(n)}+X_{k}\}))=\frac{1}{K}\mathrm{Var}(\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nf(\{\xi^{(n)}+X\}))
+\end{equation}
+On a donc réduction de variance si et seulement si : 
+\begin{equation}
+\mathrm{Var}(\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nf(\{\xi^{(n)}+X\}))<\frac{1}{N}\mathrm{Var}(f(X))
+\end{equation}
+\subsection{Calcul de vitesse et d'intervalle de confiance}
 On veut calculer l'espérance : $\E(f(X))=\sum_{i=1}^Ip_if(X_i)$
 \begin{equation}
 \label{eqesti}\hat{c}=\sum_{i=1}^I\frac{p_i}{N_i}\sum_{j=1}^{N_i}f(X_i^j)=
-\frac{1}{N}\sum_{i=1}^I\frac{p_i}{q_i}\sum_{j=1}^{q_iN}f(X_i^j)
+\frac{1}{N}\sum_{k=1}^I\frac{p_i}{q_i}\sum_{j=1}^{q_iN}f(X_i^j)
 \end{equation}